Teori Chaos: Apakah perbezaan antara tingkah laku huru-hara dan tingkah laku rawak?


Jawapan 1:

Cerita pendek adalah berikut. Tingkah laku secara rawak tidak ditentukan: walaupun anda mengetahui segala sesuatu yang dapat diketahui tentang sistem pada waktu tertentu secara terperinci, anda masih tidak dapat meramalkan keadaan pada masa akan datang. Tingkah laku huru-hara di sisi lain adalah deterministik sepenuhnya jika anda tahu keadaan permulaan dengan terperinci yang sempurna, tetapi apa-apa ketepatan dalam keadaan awal, tidak kira berapa kecil, berkembang dengan cepat (eksponen) dengan masa.

Sistem rawak

Satu timbangan duit syiling atau loteri adalah contoh sistem rawak [*]. Anda boleh melambungkan duit syiling satu juta kali, mengetahui hasilnya setiap kali, tetapi tidak akan membantu anda sama sekali untuk meramalkan hasil melemparkan seterusnya. Begitu juga, anda boleh mengetahui sejarah lengkap nombor yang memenangi loteri, tetapi ia tidak akan membantu anda memenangi loteri. (Jika ini terdengar mengejutkan, lihat kegagalan Gambler.)

[*] Saya merujuk di sini ke sistem ideal di mana rawak nyata.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Untuk menjadikannya lebih intuitif, bayangkan cuba mencari pemabuk. Dia meninggalkan bar pada tengah malam dan anda cari dia sejam kemudian. Kerana dia mabuk, dia berjalan tanpa tujuan dan anda tidak akan dapat tahu dengan tepat di mana dia berada. Walau bagaimanapun, mengetahui bahawa dia berjalan pada kadar satu langkah sesaat, dan dengan mengambil setiap langkah diambil dalam arahan yang baru, benar-benar rawak, anda tahu bahawa selepas satu jam dia tidak boleh jauh lebih daripada 60 langkah (mungkin seratus kaki) dari mana dia pergi.

Sistem kencang

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(dari Wikipedia)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Moly suci! Titik-titik di seluruh tempat! Apa yang dimaksudkan adalah bahawa walaupun kita bermula dengan dua keadaan awal yang sangat serupa, kedua-dua urutan tidak kelihatan sama. Itulah kekacauan.

Membezakan huru-hara daripada rawak

Sebenarnya nontrivial untuk membezakan rawak dari nombor bukan rawak. Sebagai contoh, katakan saya beritahu anda perkara berikut adalah hasil daripada timbangan duit syiling (1 adalah kepala, 0 adalah ekor): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (itu empat belas). Adakah ini kelihatan rawak kepada anda? Saya pasti tidak. Namun, saya mendapati bahawa urutan itu muncul sebanyak dua kali dalam sepuluh ribu koin duit syiling yang dihasilkan menggunakan penjana nombor rawak sebenar (random.org). Sampel sepuluh ribu koin juga mengandungi urutan [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dua kali, dan [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] lapan belas sifar) sekali. Sudah tentu, kejadian-kejadian ini jarang berlaku (diberi urutan panjang 14, anda akan mengharapkan ia muncul dalam satu daripada 16000 seri), tetapi pada masa yang sama, tidak menghairankan kita melihat mereka di sini, kerana kami menggunakan 10000 sampel untuk cari mereka. Walau bagaimanapun, perkara itu jika seseorang memberi anda sampel dari urutan rawak, tidak ada apa-apa tentang sampel itu sendiri yang boleh memberitahu anda sama ada asal sampel itu adalah proses rawak atau tidak.

Sekarang bandingkan urutan yang saya tunjukkan di atas dengan ini: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] Ini kelihatan lebih rawak, kan? Nah, ia dihasilkan dengan penjana pseudorandom di komputer saya, yang bermaksud ia sebenarnya dikira secara deterministik dari dinamik sistem yang huru-hara! Ini menunjukkan kesukaran membezakan rawak "benar" daripada apa yang anda dapat apabila anda tidak mengetahui keadaan sebenar sistem.

Tidak dapat diprediksi

Adalah penting untuk tidak mengelirukan rawak dengan ketidakpastian. Tingkah laku rawak tidak dapat diprediksi dalam pengertian yang ketat (seseorang tidak boleh membuat ramalan yang sempurna), tetapi dapat diprediksi dengan ketepatan yang tinggi (seperti dalam hal perjalanan rawak yang saya tulis sebelumnya). Sebaliknya, ketidakpastian boleh disebabkan oleh rawak (seperti ketidakupayaan untuk meramalkan tepat apabila kerosakan radioaktif akan berlaku), tetapi dalam kebanyakan kes, ia hanya disebabkan oleh ketidakupayaan kita untuk mengukur keadaan awal sistem dengan cukup tepat dan mengikutnya dengan cukup tepat (seperti dalam ramalan ramalan cuaca atau cuba meramalkan di mana setitik air akan jatuh dari percikan gelombang melawan pantai [ini adalah contoh kerana Feynman bahawa saya tidak dapat merujuk kepada sekarang]).


Jawapan 2:

Terdapat beberapa deskripsi yang sangat baik tentang teori Chaos dan kekangan dalam menjawab pertanyaan ini, tetapi mungkin perlu diperhatikan bahawa kerangka konseptual teori kekacauan sangat berharga dalam banyak bidang; terutamanya dalam ekonomi dan perniagaan, Ini adalah bidang di mana ahli strategi perlu mempunyai kawalan ke atas situasi yang kompleks di mana terdapat terlalu banyak faktor yang berinteraksi untuk dapat meramalkan hasil.

Alam adalah contoh utama seorang ahli strategi yang menggunakan kerangka konseptual teori kekacauan untuk mewujudkan sistem biologi yang efisien. Kunci yang berguna untuk menggunakan teori huru hara ialah memahami bahawa ia berkenaan dengan sistem dinamik, yang terdiri daripada pelbagai elemen interaksi. Sistem sedemikian adalah tertakluk kepada undang-undang fizikal asas yang menyebabkan mereka sentiasa berusaha menyelesaikan keadaan mantap (kurang tenaga). Walaupun keadaan mantap ini tidak dapat diprediksi, ia dapat dikekalkan melalui sejumlah variasi dalam interaksi komponen.

Teori Chaos memberitahu kita bahawa jika interaksi komponen mencapai ambang kritikal, sistem akan menjadi huru-hara dan kemudian menetap ke keadaan mantap yang baru dan berbeza. Alam menggunakan fenomena ini untuk membangkitkan perkembangan evolusi. Variasi genetik kebanyakannya boleh ditoleransi dalam sistem biologi tetapi setiap kali dan lagi perubahan genetik dapat mencukupi untuk menyebabkan sistem biologi berfungsi dengan sangat berbeza. Ini boleh menjadi lebih baik atau lebih teruk. Persaingan di antara sistem biologi memastikan sistem yang berubah menjadi lebih baik dipelihara dan perubahan yang lebih rendah akan hilang.

Walaupun mereka mungkin tidak tahu apa-apa mengenai teori huru hara, ahli ekonomi pintar dan orang-orang perniagaan menyedari fenomena ini dan apabila sistem tidak berperilaku bagaimana mereka mahu bertindak mereka membuat perubahan untuk membalikkannya ke dalam keadaan baru. Mereka perlu cukup berani untuk mengendalikan huru-hara jangka pendek yang terlibat dan bersedia untuk menamatkan perubahan sekiranya keadaan menjadi lebih teruk, tetapi ini adalah satu-satunya cara anda boleh menangani dan mengawal sistem kompleks. Sayang sekali ahli politik kita tidak dipelajari dalam teori huru hara.


Jawapan 3:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 4:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 5:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 6:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 7:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 8:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 9:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 10:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 11:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 12:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.


Jawapan 13:

Mungkin dalam erti asas tertentu tidak ada perbezaan,

yang bermaksud tidak ada perkara seperti sifat rawak yang benar.

Mungkin terdapat hanya tahap kekangan, ditentukan oleh

ijazah entropi dalam fenomena. Masalahnya adalah yang sempurna

rawak tidak mempunyai kandungan maklumat apa pun, dan itu,

dengan sendirinya adalah maklumat. Satu paradoks macam.