bagaimana mencari kadar perubahan maksimum


Jawapan 1:

Derivatif arah memberikan kadar perubahan ke arah tertentu.

Derivatif arah pada dasarnya adalah komponen kecerunan ke arah itu. Oleh itu, kadar perubahan fungsi dalam arah \ hat {\ mathbf {n}} diberikan oleh

\ frac {df} {dn} = \ hat {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Ini boleh dikaitkan dengan peraturan rantai yang

\ frac {df} {dn} = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ partial x} {\ partial n} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {\ separa y} {\ separa n}

\ frac {\ partial x} {\ partial n} dan \ frac {\ partial y} {\ partial n} dapat difahami sebagai jumlah bergerak n dalam arah \ hat {\ mathbf {n}}, iaitu

x = n \ topi {n} _x

y = n \ topi {n} _y

Jadi

\ frac {df} {dn} = \ hat {n} _x \ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ hat {n} _y \ frac {\ partial f} {\ partial y} = \ hat { \ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Oleh itu, kami telah menentukan kadar perubahan ke arah mana pun yang diberikan oleh

\ hat {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Sekarang komponen vektor mana pun maksimum dalam arahnya sendiri. Untuk koordinat ortogonal kita boleh mendapatkan komponen mengikut arah dengan produk titik. Produk titik maksimum pada sudut 0.

\ mathbf a \ cdot \ mathbf b = | a || b | \ cos \ theta \; \; \; \; (\ teks {maksimum bila} \ theta = 0)

Jadi kadar perubahan arah kecerunan adalah kadar perubahan maksimum berbanding arah lain.

Sekurang-kurangnya menganggap kecerunan itu tidak \ mathbf 0.